1992 · 数学一 · 第 3 题 · 填空题

设

f (x) = {- 1, 1 + x^{2}, - π < x \leq 0 0 < x \leq π

，则其以

2 π

为周期的傅里叶级数在点

x = π

处收敛于。

答案

$\frac{π ^{2}}{2}$

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周期延拓后，点 $x = π$ 的左极限为 $1 + π^{2}$ ，右极限等于原函数在 $- π$ 右侧的极限 $- 1$ 。

傅里叶级数在该跳跃点收敛于左右极限的平均值：

\frac{( 1 + π ^{2} ) + ( - 1 )}{2} = \frac{π ^{2}}{2} .