先由混合偏导还原函数。固定 $x$，对 $y$ 积分得 $f_x=(y^2+2y){\mathrm{e}}^x+\phi (x)$。利用 $f_x(x,0)=(x+1){\mathrm{e}}^x$，确定 $\phi (x)=(x+1){\mathrm{e}}^x$，因此

再固定 $y$，对 $x$ 积分。由 $(x{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=(x+1){\mathrm{e}}^x$，得到 $f=(y^2+2y){\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x+\psi (y)$。代入 $x=0$，结合 $f(0,y)=y^2+2y$，得 $\psi (y)=0$。故 $f(x,y)=(x+y^2+2y){\mathrm{e}}^x$。两次积分的常数分别可以依赖 $x$、$y$，不能一开始写成数值常数。
由 $f_y=(2y+2){\mathrm{e}}^x$，驻点满足 $y=-1$、$x+y^2+2y+1=0$，解得唯一驻点 $(0,-1)$。二阶偏导为

在 $(0,-1)$ 处，$A=1$、$B=0$、$C=2$，故 $AC-B^2=2>0$ 且 $A>0$，为极小值点，极小值 $f(0,-1)=-1$。所求函数光滑且已穷尽驻点，所以没有极大值。