1992 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

设

z = sin (x y) + φ (x, \frac{x}{y})

，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

，其中

φ (u, v)

在其定义域内具有二阶连续偏导数，且

y \neq = 0

。

答案

$cos (x y) - x y sin (x y) - \frac{x}{y ^{2}} φ_{uv} (x, \frac{x}{y}) - \frac{1}{y ^{2}} φ_{v} (x, \frac{x}{y}) - \frac{x}{y ^{3}} φ_{v v} (x, \frac{x}{y})$

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令 $h (x, y) = φ (x, \frac{x}{y})$ 。由 $y \neq = 0$ 及 $φ$ 的二阶偏导数连续，复合函数可使用链式法则，混合偏导数次序可以交换。以下 $φ$ 的各偏导数均在 $(x, \frac{x}{y})$ 处取值。

先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导：

h_{x} h_{x y} = φ_{u} + \frac{1}{y} φ_{v}, = - \frac{x}{y ^{2}} φ_{uv} - \frac{1}{y ^{2}} φ_{v} - \frac{x}{y ^{3}} φ_{v v} .

加上 $sin (x y)$ 的混合偏导数，得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = cos (x y) - x y sin (x y) - \frac{1}{y ^{2}} φ_{v} (x, \frac{x}{y}) - \frac{x}{y ^{2}} φ_{uv} (x, \frac{x}{y}) - \frac{x}{y ^{3}} φ_{v v} (x, \frac{x}{y}) .