函数 $f$ 可导且有反函数，故它在给定闭区间上连续、严格单调，反函数在其定义域上连续。对题给等式求导，利用 $f^{-1}(f(x))=x$，得

对 $0<x<\frac{\pi }{4}$，可约去 $x$，所以 $f^{\prime }(x)=\frac{(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)}>0$。

积分并由端点连续性，得

此时 $f(0)=C$，且 $f$ 严格递增，其值域为 $[C,C+\ln \sqrt{2}]$。

题给反函数积分以 $0$ 为下限，要求 $0$ 位于该值域中，因而 $C\le 0$。在 $x=0$ 时积分条件给出 ${\int }_0^C{f}^{-1}(t)\mathrm{d}t=0$。若 $C<0$，则对 $C<t\le 0$，严格单调性给出 $f^{-1}(t)>f^{-1}(C)=0$，从而

矛盾。因此 $C=0$。

故 $f(x)=\ln (\sin x+\cos x)$。它在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上严格递增（右端点的导数可为零），值域为 $[0,\ln \sqrt{2}]$，反函数积分有定义；原等式两边在 $x=0$ 均为零，且在内部具有相同导数，所以该函数确实满足题设。