利用

$$\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2},$$

可得

$$I=\int \arctan x\mathrm{d}x-\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

第一项分部积分为

$$\int \arctan x\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2).$$

第二项令 $u=\arctan x$，则 $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$，所以

$$\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2.$$

故

$$I=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2+C.$$