1993 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

已知

R^{3}

的两个基为

α_{1} = 111, α_{2} = 10 - 1, α_{3} = 101

与

β_{1} = 121, β_{2} = 234, β_{3} = 343

，求由基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

到基

β_{1}, β_{2}, β_{3}

的过渡矩阵。

答案

$P = 20 - 1 3 - 1 0 40 - 1$

查看解析展开

按过渡矩阵的通常定义，令

(β_{1}, β_{2}, β_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) P .

因此， $P$ 的第 $j$ 列是 $β_{j}$ 在基 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 下的坐标。

若 $q_{1} α_{1} + q_{2} α_{2} + q_{3} α_{3} = (a, b, c)^{T}$ ，比较三个分量得

q_{1} = b, q_{2} = \frac{a - c}{2}, q_{3} = \frac{a + c - 2 b}{2} .

分别代入三个 $β$ 向量，得到

[β_{1}]_{α} = 20 - 1, [β_{2}]_{α} = 3 - 1 0, [β_{3}]_{α} = 40 - 1 .

故

P = 20 - 1 3 - 1 0 40 - 1 .