（1）确定延拓方式。正弦系数 $b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin (n\pi x)\mathrm{d}x$ 对应于在 $(0,1)$ 上的函数先作奇延拓，再作周期为 $2$ 的延拓。所得函数在一个周期内分段单调，只有有限个第一类间断点，满足狄利克雷收敛条件。因此题给级数处处收敛。每个正弦项都为奇函数且以 $2$ 为周期，故和函数满足 $S(-x)=-S(x)$、$S(x+2)=S(x)$。

（2）利用周期性和奇性，将求值点移入 $(0,1)$：

（3）应用狄利克雷收敛定理。延拓函数在 $x=\frac{1}{4}$ 处连续，因此

所以 $S(-\frac{9}{4})=-\frac{1}{4}$，选 C。这里 $f$ 在 $\frac{1}{2}$ 处不可导并不影响它在该点连续，也不影响上述分段单调条件。由于延拓函数的绝对值不超过 $\frac{1}{2}$，间断点左右极限的平均值也在此范围内，选项中的 $\pm \frac{3}{4}$ 均不可能；$\frac{1}{4}$ 则遗漏了奇性带来的负号。