2000 · 数学二 · 第 9 题 · 选择题

若

x \to 0 lim \frac{sin 6 x + x f ( x )}{x ^{3}} = 0

，则

x \to 0 lim \frac{6 + f ( x )}{x ^{2}}

为（　　）。

答案

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已知条件等价于 $sin 6 x + x f (x) = o (x^{3})$ 。除以 $x$ 得 $\frac{sin 6 x}{x} + f (x) = o (x^{2})$ 。

由于 $\frac{sin 6 x}{x} = 6 - 36 x^{2} + o (x^{2})$ ，故 $6 + f (x) = 36 x^{2} + o (x^{2})$ 。所求极限为 $36$ ，选 C。