当 $x\ne 1$ 时，原式等于

当 $x\to 1^{-}$ 时，$\frac{1}{(x-1)}\to -\infty$，左极限为 $0$；当 $x\to 1^{+}$ 时，$\frac{1}{(x-1)}\to +\infty$，右极限为 $+\infty$。

左右极限不相等，因此双侧极限不存在，且不能称为 $\infty$，选 D。