2016 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}

上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .

。

(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
(2) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由；
(3) 求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F (z)$ 。

答案

第 1 问

f (x, y) = {3, 0, 0 < x < 1, x^{2} < y < x, 其他 .

第 2 问

不相互独立。

第 3 问

F_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.

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第 1 问

区域面积为

S_{D} = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

均匀分布的联合密度在区域内为 $\frac{1}{S _{D}} = 3$ ，故

f (x, y) = {3, 0, 0 < x < 1, x^{2} < y < x, 其他 .

第 2 问

不独立。对 $0 < x < 1$ ，有 $x^{2} < x < x$ ，因此 $U = 1$ 对应区域 $x < y < x$ ，从而

P {U = 1} = 3 \int_{0}^{1} (x - x) d x = \frac{1}{2} .

取事件 $X \leq \frac{1}{2}$ ，分别算联合概率与边缘概率：

P {U = 1, X \leq \frac{1}{2}} = 3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x) d x = \frac{2}{2} - \frac{3}{8},

P {X \leq \frac{1}{2}} = 3 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - x^{2}) d x = \frac{2}{2} - \frac{1}{8} .

所以 $P {U = 1} P {X \leq \frac{1}{2}} = \frac{2}{4} - \frac{1}{16}$ ，与联合概率的差为 $\frac{( 4 2 - 5 )}{16} > 0$ ，不满足独立性。
也可从条件概率看出：给定 $X = x$ 时 $Y$ 在 $(x^{2}, x)$ 上均匀，故 $P {U = 1 ∣ X = x} = \frac{( x - x )}{( x - x ^{2} )}$ ，它随 $x$ 变化，不恒等于 $\frac{1}{2}$ 。

第 3 问

按 $U$ 的取值分解事件，不能使用独立卷积：

F_{Z} (z) = P {U = 0, X \leq z} + P {U = 1, X \leq z - 1} .

对 $0 \leq t \leq 1$ ，两块累计概率分别为

P {U = 0, X \leq t} = 3 \int_{0}^{t} (x - x^{2}) d x = \frac{3}{2} t^{2} - t^{3},

P {U = 1, X \leq t} = 3 \int_{0}^{t} (x - x) d x = 2 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} t^{2} .

当 $z < 0$ 时两项均为零；当 $0 \leq z < 1$ 时只有第一项有贡献，取 $t = z$ ；当 $1 \leq z < 2$ 时第一项已等于 $P {U = 0} = \frac{1}{2}$ ，第二项取 $t = z - 1$ ；当 $z \geq 2$ 时总概率为 $1$ 。因此

F_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{3}{2} z^{2} - z^{3}, \frac{1}{2} + 2 (z - 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} (z - 1)^{2}, 1, z < 0, 0 \leq z < 1, 1 \leq z < 2, z \geq 2.

在 $z = 1$ 两侧都趋于 $\frac{1}{2}$ ，在 $z = 2$ 左极限为 $\frac{1}{2} + 2 - \frac{3}{2} = 1$ ，与相应函数值一致。两段中所积分的区域不同，不能把它们替换成 $\frac{1}{2} F_{X} (z) + \frac{1}{2} F_{X} (z - 1)$ 。