1988 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设位于点

(0, 1)

的质点

A

对质点

M

的引力大小为

\frac{k}{r ^{2}}

（

k > 0

为常数，

r

为质点

A

与

M

之间的距离），质点

M

沿曲线

y = 2 x - x^{2}

自

B (2, 0)

运动到

O (0, 0)

，求在此运动过程中质点

A

对质点

M

的引力所作的功。

答案

$k (1 - \frac{1}{5})$

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设质点 $M$ 到 $A$ 的距离为 $r$ 。指向 $A$ 、大小为 $\frac{k}{r ^{2}}$ 的力场等于 $\nabla (\frac{k}{r})$ ，故沿任意不经过 $A$ 的路径所作功只由端点决定。

起点 $B (2, 0)$ 到 $A (0, 1)$ 的距离为 $5$ ，终点 $O (0, 0)$ 到 $A$ 的距离为 $1$ 。因此

W = \frac{k}{1} - \frac{k}{5} = k (1 - \frac{1}{5}) .