$a=0$，$b$ 为任意实数。

$a\ne 0,a\ne b$；唯一表示为 $\beta =(1-\frac{1}{a}){\alpha }_1+\frac{1}{a}{\alpha }_2+0{\alpha }_3$

$a=b\ne 0$；全部表示为 $\beta =(1-\frac{1}{a}){\alpha }_1+(\frac{1}{a}+s){\alpha }_2+s{\alpha }_3,s\in \mathbb{R}$

若 $a\ne 0$，直接计算得 $\beta =(1-\frac{1}{a}){\alpha }_1+\frac{1}{a}{\alpha }_2$，所以此时一定可以表示。若 $a=0$，则 ${\alpha }_2={\alpha }_1$。当 $b\ne 0$ 时，${\alpha }_1,{\alpha }_3$ 所张成平面满足 $4x-2y-z=0$，但 $4-2\cdot 3-(-3)=1\ne 0$；当 $b=0$ 时两向量仍只张成 ${\alpha }_1$ 方向。因此 $a=0$ 时不能表示 $\beta$。

以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为列组成矩阵，有 $\det [{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3]=a(a-b)$。当 $a\ne 0$ 且 $a\ne b$ 时三向量线性无关，表示唯一，且 $\beta =(1-\frac{1}{a}){\alpha }_1+\frac{1}{a}{\alpha }_2+0{\alpha }_3$。

当 $a=b\ne 0$ 时，${\alpha }_3=-{\alpha }_2$，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，所以表示存在但不唯一。全部表示式可写为 $\beta =(1-\frac{1}{a}){\alpha }_1+(\frac{1}{a}+t){\alpha }_2+t{\alpha }_3$，其中 $t\in \mathbb{R}$。