1995 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = {e^{- x}, 0, x \geq 0 x < 0

，求随机变量

Y = e^{X}

的概率密度

f_{Y} (y)

。

答案

$f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{y ^{2}}, 0, y \geq 1 y < 1$

变换 $Y = e^{X}$ 在 $X \geq 0$ 上严格递增，其反函数为 $x = ln y$ ，且 $y \geq 1$ 。

因此

f_{Y} (y) = f_{X} (ln y) \frac{d}{d y} ln y = e^{- l n y} \frac{1}{y} = \frac{1}{y ^{2}}, y \geq 1.

当 $y < 1$ 时密度为 $0$ 。