2006 · 数学一 · 第 14 题 · 选择题

设随机变量

X

服从正态分布

N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

，

Y

服从正态分布

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

，且

P {∣ X - μ_{1} ∣ < 1} > P {∣ Y - μ_{2} ∣ < 1}

，则必有（　　）。

答案

令 $Z \sim N (0, 1)$ 。则

P (∣ X - μ_{1} ∣ < 1) P (∣ Y - μ_{2} ∣ < 1) = 2Φ (\frac{1}{σ _{1}}) - 1, = 2Φ (\frac{1}{σ _{2}}) - 1.

因 $Φ$ 严格递增，题设不等式等价于 $\frac{1}{σ _{1}} > \frac{1}{σ _{2}}$ ，从而 $σ_{1} < σ_{2}$ ，选 A。