1990 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

已知

x \to \infty lim (\frac{x + a}{x - a})^{x} = 9

，求常数

a

。

答案

$a = ln 3$

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对充分大的正 $x$ ，底数为正。设极限为 $L$ ，则

ln L = x \to \infty lim x [ln (1 + \frac{a}{x}) - ln (1 - \frac{a}{x})] = 2 a .

因此 $L = e^{2 a} = 9$ 。由 $9 = e^{2 l n 3}$ ，得 $a = ln 3$ 。