2002 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设

D_{1}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

x = a

、

x = 2

及

y = 0

所围成的平面区域；

D_{2}

是由抛物线

y = 2 x^{2}

和直线

y = 0

、

x = a

所围成的平面区域，其中

0 < a < 2

。

答案

$\frac{4 π}{5} (32 - a^{5})$

$π a^{4}$

$a = 1, V_{1} + V_{2} = \frac{129 π}{5}$

查看解析展开

在 $D_{1}$ 中， $a \leq x \leq 2$ ，到 $x$ 轴的半径为 $2 x^{2}$ 。

因此

V_{1} = π \int_{a}^{2} (2 x^{2})^{2} d x = 4 π \int_{a}^{2} x^{4} d x = \frac{4 π}{5} (32 - a^{5}) .

在 $D_{2}$ 中， $0 \leq x \leq a$ ，竖直条带的高度为 $2 x^{2}$ ，绕 $y$ 轴形成的柱壳半径为 $x$ 。

故

V_{2} = 2 π \int_{0}^{a} x (2 x^{2}) d x = 4 π \int_{0}^{a} x^{3} d x = π a^{4}

。

由前两问的体积函数，在 $0 < a < 2$ 上， $V_{1} + V_{2} = \frac{4 π}{5} (32 - a^{5}) + π a^{4}$ ，所以 $\frac{d}{d a} (V_{1} + V_{2}) = 4 π a^{3} (1 - a)$ 。

导数在 $0 < a < 1$ 为正、在 $1 < a < 2$ 为负，故最大值在 $a = 1$ 处取得。此时 $V_{1} + V_{2} = \frac{4 π}{5} (31) + π = \frac{129 π}{5}$ 。