令 $g(x)=f(x)-x$。它在 $[\frac{1}{2},1]$ 上连续，且 $g(\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0$，$g(1)=f(1)-1=-1<0$。

由介值定理，存在 $\eta \in (\frac{1}{2},1)$ 使 $g(\eta )=0$，即 $f(\eta )=\eta$。

固定任意实数 $\lambda$，仍令 $g(x)=f(x)-x$。由 $f(0)=0$ 及第一问，有 $g(0)=g(\eta )=0$。

构造 $h(x)=e^{-\lambda x}g(x)$。它在 $[0,\eta ]$ 上连续、在 $(0,\eta )$ 内可导，并且 $h(0)=h(\eta )=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta )$ 使 $h^{\prime }(\xi )=0$。

因为 $h^{\prime }(x)=e^{-\lambda x}[g^{\prime }(x)-\lambda g(x)]$，故 $g^{\prime }(\xi )-\lambda g(\xi )=0$。代入 $g^{\prime }=f^{\prime }-1$、$g=f-x$，即得 $f^{\prime }(\xi )-\lambda [f(\xi )-\xi ]=1$。