先比较上下边界。令$g(x)=\frac{1}{(1+x^2)}-\frac{x}{2}$，则$g(1)=0$，且$g^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}-\frac{1}{2}<0$，故在$0\le x\le 1$上$g(x)\ge 0$。
绕$y$轴用柱壳法，半径为$x$、高为$g(x)$，于是

第一项利用$d(1+x^2)=2xdx$，得${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}[\ln (1+x^2){]}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2$；第二项为$[\frac{x^3}{6}{]}_0^1=\frac{1}{6}$。故$V=2\pi (\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{6})=\pi \ln 2-\frac{\pi }{3}$。