（1）还原矩阵。记变换后的矩阵为 $M$，交换第二、三行的初等矩阵为 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$，将第二列减到第一列的初等矩阵为 $Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，则 $PAQ=M$。
逆向操作时，先将 $M$ 的第二列加到第一列，再交换第二、三行，得到

（2）求逆矩阵的迹。按 $A$ 的第二行展开，$|A|=(-1)(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\right|=-1\ne 0$，因此 $A$ 可逆。由 $A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$，只需三个对角代数余子式：

所以 $\mathrm{tr}(A^{-1})=\frac{A_{11}+A_{22}+A_{33}}{|A|}=\frac{0+0+1}{-1}=-1$。完整逆矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$，其对角元之和同样为 $-1$。