计算相邻两项之差：

因 $f$ 单调减少，在 $[n,n+1]$ 上有 $f(x)\ge f(n+1)$，故 $a_{n+1}-a_n\le 0$，即 $\{a_n\}$ 单调不增。

另一方面，

在每个 $[k,k+1]$ 上都有 $f(k)\ge f(x)$，且 $f(n)\ge 0$，因此 $a_n\ge 0$。

数列 $\{a_n\}$ 单调不增且有下界，所以其极限存在。