2006 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

在

x O y

坐标平面上，连续曲线

L

过点

M (1, 0)

，其上任意点

P (x, y) (x \neq = 0)

处的切线斜率与直线

O P

的斜率之差等于

a x

（常数

a > 0

）。

(1) 求 $L$ 的方程；
(2) 当 $L$ 与直线 $y = a x$ 所围成平面图形的面积为 $\frac{8}{3}$ 时，确定 $a$ 的值。

答案

第 1 问

$y = {a x^{2} + c x, a (x^{2} - x), x < 0, x \geq 0, a > 0, c \in R$

第 2 问

全部可能值为 $0 < a \leq 2$ ；相应参数条件为：当 $0 < a < 2$ 时， $c = a + 2 3 a^{2} (2 - a)$ ；当 $a = 2$ 时， $c \leq 2$ 。

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第 1 问

设曲线的方程为 $y = y (x)$ 。对 $x \neq = 0$ ，切线斜率与直线 $O P$ 的斜率之差满足

y^{'} - \frac{y}{x} = a x, (\frac{y}{x})^{'} = a .

分别在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 上积分，可得

y = a x^{2} + C_{+} x (x > 0), y = a x^{2} + C_{-} x (x < 0) .

由 $M (1, 0) \in L$ ，正半轴上的常数满足 $C_{+} = - a$ 。两侧表达式在 $x \to 0$ 时均趋于 $0$ ，所以连续性只要求 $y (0) = 0$ ，并不要求 $C_{-} = - a$ 。记 $c = C_{-}$ ，便得

y = {a x^{2} + c x, a (x^{2} - x), x < 0, x \geq 0, a > 0, c \in R .

反过来，上述每一条曲线均连续、经过 $M$ ，并在所有 $x \neq = 0$ 处满足题给斜率条件。原点两侧导数可以不同，因为题设未在 $x = 0$ 处要求该斜率条件。

第 2 问

使用第一问得到的分段曲线方程及其中的参数 $c$ 。在正半轴，联立曲线与直线 $y = a x$ ，得

a (x^{2} - x) = a x ⟺ x (x - 2) = 0.

因 $a > 0$ ，正半轴一侧总有横坐标 $0, 2$ 之间的有界围区，且直线在曲线上方。其面积为

S_{+} = \int_{0}^{2} [a x - a (x^{2} - x)] d x = \frac{4 a}{3} .

在负半轴，曲线与直线的纵坐标之差为

(a x^{2} + c x) - a x = x (a x + c - a) .

除原点外的交点横坐标为 $x_{0} = \frac{( a - c )}{a}$ 。若 $c \leq a$ ，则 $x_{0} \geq 0$ ，负半轴无第二个交点，因而不产生有界围区。若 $c > a$ ，则 $x_{0} < 0$ ，在 $x_{0} < x < 0$ 上直线在曲线上方，新增的有界围区面积为

S_{-} = \int_{\frac{( a - c )}{a}}^{0} [a x - (a x^{2} + c x)] d x = \frac{( c - a ) ^{3}}{6 a ^{2}} .

两侧各至多有一个非零交点，原点也是交点；因此上述围区已包括全部有界区域，不存在其他有界围区。

令 $d = max {c - a, 0}$ 。全部有界区域的总面积为

S = S_{+} + S_{-} = \frac{4 a}{3} + \frac{d ^{3}}{6 a ^{2}} .

故 $S = \frac{8}{3}$ 等价于

d^{3} = 8 a^{2} (2 - a) .

由 $a > 0, d \geq 0$ ，必有 $0 < a \leq 2$ 。若 $0 < a < 2$ ，右侧为正，故

c - a = d = 2 3 a^{2} (2 - a), c = a + 2 3 a^{2} (2 - a) > a .

若 $a = 2$ ，则 $d = 0$ ，等价于 $c \leq 2$ 。反之，这两类参数代回面积公式均给出 $S = \frac{8}{3}$ 。因此 $a$ 的全部可能值为 $(0, 2]$ ，并须配以相应的 $c$ 条件。