两个积分区域合并后为 $D=\{(x,y):1\le y\le 2,y\le x\le y^2\}$。因此原式可写成

$$I={\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_y^{y^2}\sin \frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}x.$$

先对 $x$ 积分，得

$$I=-\frac{2}{\pi }{\int }_1^{2}y\cos \frac{\pi y}{2}\mathrm{d}y.$$

利用 $\int y\cos (ay)\mathrm{d}y=\frac{y\sin (ay)}{a}+\frac{\cos (ay)}{a^2}$，取 $a=\frac{\pi }{2}$，于是

$$\begin{array}{rl}I& =-\frac{2}{\pi }{\left[\frac{2y}{\pi }\sin \frac{\pi y}{2}+\frac{4}{{\pi }^2}\cos \frac{\pi y}{2}\right]}_1^2\\ & =\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{8}{{\pi }^3}.\end{array}$$