依次取 $(x_1,x_2,x_3{)}^T=e_1,e_2,e_3$，得到 $A$ 的三列分别为 $(1,2,0{)}^T,(1,-1,1{)}^T,(1,1,-1{)}^T$，因此

题设等式对任意向量成立，才可以这样通过标准基唯一确定整个矩阵。

沿特征行列式的第一列展开，得到

三个特征值为 $2,-1,-2$，互异，故可对角化。
对 $\lambda =2$，将 $2E-A$ 的第二行加上第一行的两倍，再将第三行加上新的第二行，得到阶梯形 $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$。因此 $x_2=3x_3,x_1=4x_3$，取 ${\xi }_1=(4,3,1{)}^T$。
对 $\lambda =-1$，方程 $(-E-A)x=0$ 给出 $x_2=0,2x_1+x_3=0$，取 ${\xi }_2=(1,0,-2{)}^T$。对 $\lambda =-2$，方程 $(-2E-A)x=0$ 给出 $x_1=0,x_2+x_3=0$，取 ${\xi }_3=(0,1,-1{)}^T$。
令

$|P|=12\ne 0$，且 $A{\xi }_1=(8,6,2{)}^T=2{\xi }_1$、$A{\xi }_2=(-1,0,2{)}^T=-{\xi }_2$、$A{\xi }_3=(0,-2,2{)}^T=-2{\xi }_3$，故 $AP=P\Lambda$，从而 $P^{-1}AP=\Lambda$。