1989 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{600} e^{- \frac{x}{600}}, 0, x > 0 x \leq 0

。求在仪器使用的最初

200

小时内至少有一只电子元件损坏的概率

α

。

答案

$α = 1 - e^{- 1}$

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一只元件寿命超过 $200$ 小时的概率为

P (T > 200) = \int_{200}^{+ \infty} \frac{1}{600} e^{- \frac{x}{600}} d x = e^{- \frac{1}{3}} .

三只元件独立，因此最初 $200$ 小时内均未损坏的概率为 $(e^{- \frac{1}{3}})^{3} = e^{- 1}$ 。取对立事件得到 $α = 1 - e^{- 1}$ 。