令 $M=\beta {\alpha }^T$。则 $M\beta =\beta ({\alpha }^T\beta )=2\beta$。由于 ${\alpha }^T\beta =2\ne 0$，$\beta \ne 0$，所以 $2$ 确实是特征值。

矩阵 $M$ 的秩至多为 $1$，因此除这个非零特征值外其余特征值为 $0$。所求非零特征值为 $2$。