当 $|r|<1$ 时，$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n=\frac{1}{1-r}$。逐项求导得 $\sum _{n=1}^{\infty }n{r}^{n-1}=\frac{1}{(1-r{)}^2}$。

取 $r=\frac{1}{2}$，原级数之和为 $\frac{1}{(1-\frac{1}{2}{)}^2}=4$。