由 $f(x)=-f(-x)$ 可知 $f$ 为奇函数。对等式求导得 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)$，故 $f^{\prime }$ 为偶函数；再求导得 $f^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(-x)$，故 $f^{\prime \prime }$ 为奇函数。

对任意 $x<0$，令 $u=-x>0$，则 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)>0$，而 $f^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(u)<0$。因此选择 C。