令$\Phi (x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，$x\in [0,2]$。由$f$连续，$\Phi$在$[0,2]$连续、在$(0,2)$可导，且${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$。对$\Phi$应用拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (0,2)$，使

结合题设${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=2f(0)$，得$f(\eta )=f(0)$。此构造保证中值点在开区间内。

（1）由$f(2)+f(3)=2f(0)$，知$f(0)$介于$f(2)$与$f(3)$之间。利用$f$在$[2,3]$连续及介值定理，存在$\zeta \in [2,3]$，使$f(\zeta )=f(0)$。若$f(2)=f(3)$，直接取$\zeta =2$即可。
（2）由第（1）问的$\eta \in (0,2)$，得到$0<\eta <2\le \zeta \le 3$及$f(0)=f(\eta )=f(\zeta )$，三个点互不相同。分别在$[0,\eta ]$和$[\eta ,\zeta ]$上对$f$使用罗尔定理，存在

（3）由于$f^{\prime \prime }$在$(0,3)$存在，$f^{\prime }$在该开区间可导，因而在$[{\xi }_1,{\xi }_2]\subset (0,3)$上连续、在其内部可导。对$f^{\prime }$再次使用罗尔定理，存在$\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (0,3)$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$，得证。