（1）特征方程为 $(r+1{)}^2=0$，二重根为 $-1$，通解为 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}$。其导数为 $y^{\prime }=(C_2-C_1-C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}$。由初值得 $C_1=0,C_2=1$，所以 $y=x{\mathrm{e}}^{-x}$。
（2）核对：$y^{\prime }=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$、$y^{\prime \prime }=(x-2){\mathrm{e}}^{-x}$，代入左端得 $[(x-2)+2(1-x)+x]{\mathrm{e}}^{-x}=0$，且两个初值均满足。
（3）在 $[0,A]$ 上分部积分，取 $u=x$、$\mathrm{d}v={\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$、$v=-{\mathrm{e}}^{-x}$，于是

因 $A{\mathrm{e}}^{-A}\to 0$、${\mathrm{e}}^{-A}\to 0$，令 $A\to +\infty$，所求积分为 $1$。

特征方程有二重负根 $-1$，所以 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}$，且 $y,y^{\prime }$ 在 $+\infty$ 均趋于零。无需具体定出常数，在 $[0,A]$ 上对方程积分即得

令 $A\to +\infty$，右侧边界项有极限，从而积分收敛，且 ${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=y^{\prime }(0)+2y(0)=1$。