1992 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

设

z = f (e^{x} sin y, x^{2} + y^{2})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$f_{11} e^{2 x} sin y cos y + f_{1} e^{x} cos y + 2 f_{12} e^{x} (y sin y + x cos y) + 4 x y f_{22}$ ，其中各偏导数均在 $(e^{x} sin y, x^{2} + y^{2})$ 处取值

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记 $u = e^{x} sin y$ ， $v = x^{2} + y^{2}$ 。先对 $x$ 求偏导：

z_{x} = f_{1} u_{x} + f_{2} v_{x} = f_{1} e^{x} sin y + 2 x f_{2} .

再对 $y$ 求偏导，并使用 $u_{y} = e^{x} cos y$ 、 $v_{y} = 2 y$ ：

z_{x y} = f_{11} u_{y} e^{x} sin y + f_{12} v_{y} e^{x} sin y + f_{1} e^{x} cos y + 2 x (f_{21} u_{y} + f_{22} v_{y}) .

因 $f$ 有二阶连续偏导数， $f_{21} = f_{12}$ 。整理得

z_{x y} = f_{11} e^{2 x} sin y cos y + f_{1} e^{x} cos y + 2 f_{12} e^{x} (y sin y + x cos y) + 4 x y f_{22},

其中所有 $f$ 的偏导数都在 $(u, v) = (e^{x} sin y, x^{2} + y^{2})$ 处取值。