2020 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < y < 1 - x^{2}}

上服从均匀分布，令

Z_{1} = {1, 0, X - Y > 0 X - Y \leq 0

，

Z_{2} = {1, 0, X + Y > 0 X + Y \leq 0

。

(1) 求二维随机变量 $(Z_{1}, Z_{2})$ 的概率分布；
(2) 求 $Z_{1}$ 与 $Z_{2}$ 的相关系数。

答案

第 1 问

Z_{1} \ Z_{2} 01 0 \frac{1}{4} 0 1 \frac{1}{2} \frac{1}{4}

第 2 问

$\frac{1}{3}$

查看解析展开

第 1 问

区域 $D$ 是上半单位圆盘，面积为 $\frac{π}{2}$ ，其上联合密度为 $\frac{2}{π}$ 。取极坐标 $x = r cos θ, y = r sin θ$ ，则 $0 < r < 1, 0 < θ < π$ 。扇形概率等于它的圆心角除以 $π$ 。
在上半圆内， $X - Y > 0$ 对应 $0 < θ < \frac{π}{4}$ ，故 $P {Z_{1} = 1} = \frac{1}{4}$ 。而 $X + Y > 0$ 对应 $0 < θ < \frac{3 π}{4}$ ，故 $P {Z_{2} = 1} = \frac{3}{4}$ 。
由于 $X > Y > 0$ 必然推出 $X + Y > 0$ ，有 ${Z_{1} = 1} \subset {Z_{2} = 1}$ ，所以

P {Z_{1} = 1, Z_{2} = 0} = 0, P {Z_{1} = 1, Z_{2} = 1} = \frac{1}{4} .

其余两格为 $P {Z_{1} = 0, Z_{2} = 1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $P {Z_{1} = 0, Z_{2} = 0} = \frac{1}{4}$ 。因此

Z_{1} \ Z_{2} 01 0 \frac{1}{4} 0 1 \frac{1}{2} \frac{1}{4}

两条分界直线的面积为零，概率也为零，其边界归属不影响结果。

第 2 问

两个变量均取 $0, 1$ ，由第一问边缘概率得

E (Z_{1}) Var (Z_{1}) = \frac{1}{4}, = (\frac{1}{4}) (\frac{3}{4}) = \frac{3}{16}, E (Z_{2}) Var (Z_{2}) = \frac{3}{4}, = \frac{3}{16} .

乘积 $Z_{1} Z_{2}$ 仅在两者同时为 $1$ 时等于 $1$ ，故 $E (Z_{1} Z_{2}) = \frac{1}{4}$ 。于是

Cov (Z_{1}, Z_{2}) ρ_{Z_{1} Z_{2}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{16}, = \frac{\frac{1}{16}}{( \frac{3}{16} ) ( \frac{3}{16} )} = \frac{1}{3} .