2008 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

设

n

元线性方程组

A x = b

，其中

A = 2 a a^{2} 0 ⋮ 0 1 2 a ⋱ ⋱ \dots 01 ⋱ a^{2} 0 \dots ⋱ ⋱ 2 a a^{2} 0 ⋮ 01 2 a, x = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}, b = 10 ⋮ 0

。

答案

证明见解析

$a \neq = 0$ ， $x_{1} = \frac{n}{( n + 1 ) a}$

当 $n \geq 2$ 时，恰在 $a = 0$ 有无穷多解，通解为 $x_{1} = t, x_{2} = 1, x_{j} = 0 (3 \leq j \leq n)$ ，其中 t 为任意常数。当 $n = 1$ 时，不存在使方程组有无穷多解的 a；此时 $a = 0$ 对应无解。

查看解析展开

以 $A_{n}$ 表示题设的 $n$ 阶同型三对角矩阵，记 $D_{n} = ∣ A_{n} ∣$ ，并约定 $D_{0} = 1$ 。按第一行展开得到 $D_{n} = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2}$ ，初值为 $D_{1} = 2 a$ 。

归纳可得 $D_{n} = (n + 1) a^{n}$ ：初值 $D_{0} = 1$ 、 $D_{1} = 2 a$ 成立；若前两项成立，则 $D_{n} = 2 a \cdot n a^{n - 1} - a^{2} (n - 1) a^{n - 2} = (n + 1) a^{n}$ 。

由第一问 $∣ A ∣ = (n + 1) a^{n}$ ，方程组有唯一解当且仅当 $a \neq = 0$ 。

用克拉默法则求 $x_{1}$ ：删去第一行第一列后的余子式是同型的 $(n - 1)$ 阶行列式 $D_{n - 1} = n a^{n - 1}$ ，故 $x_{1} = \frac{D _{n - 1}}{D _{n}} = \frac{n}{( n + 1 ) a}$ 。

由前两问，无穷多解只能出现在 $a = 0$ 时。若 $n \geq 2$ ，此时矩阵只剩第一条超对角线上的元素为 $1$ ，方程组化为

x_{2} = 1, x_{j} = 0 (3 \leq j \leq n), 0 = 0.

当 $n = 2$ 时，中间的 $x_{j} = 0$ 条件为空。

因此， $n \geq 2$ 时恰在 $a = 0$ 有无穷多解，其通解为

x_{1} = t, x_{2} = 1, x_{j} = 0 (3 \leq j \leq n),

其中 $t$ 为任意常数。

若允许 $n = 1$ ，方程为 $2 a x_{1} = 1$ ： $a \neq = 0$ 时有唯一解 $x_{1} = \frac{1}{( 2 a )}$ ，与第 2 问公式一致； $a = 0$ 时成为 $0 = 1$ ，无解。因此 $n = 1$ 时没有无穷多解的情形。