2009 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {e^{- x}, 0, 0 < y < x, 其他 .

答案

$f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x}, 0, x > 0, 0 < y < x, 其他 .$

$\frac{e - 2}{e - 1}$

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先求 $X$ 的边缘密度。对 $x > 0$ ，

f_{X} (x) = \int_{0}^{x} e^{- x} d y = x e^{- x},

其余 $x$ 时 $f_{X} (x) = 0$ 。

当 $x > 0$ 且 $0 < y < x$ 时，

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{e ^{- x}}{x e ^{- x}} = \frac{1}{x} .

支持域外条件密度为 $0$ 。

由联合密度， $Y$ 的边缘密度在 $y > 0$ 时为

f_{Y} (y) = \int_{y}^{\infty} e^{- x} d x = e^{- y} .

因而

P (Y \leq 1) = \int_{0}^{1} e^{- y} d y = 1 - e^{- 1} .

分子为

P (X \leq 1, Y \leq 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} e^{- x} d y d x = \int_{0}^{1} x e^{- x} d x = 1 - 2 e^{- 1} .

所以

P (X \leq 1 ∣ Y \leq 1) = \frac{1 - 2 e ^{- 1}}{1 - e ^{- 1}} = \frac{e - 2}{e - 1} .