在包含初始点 $x=1$ 的区间上有 $x>0$。原方程写成 $2x{y}^{\prime }-y=x^3$，即 $y^{\prime }-\frac{1}{2x}y=\frac{x^2}{2}$。

两边乘以 $x^{-\frac{1}{2}}$，得到 ${\left(y{x}^{-\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$。积分得 $\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^{\frac{5}{2}}}{5}+C$，所以 $y=\frac{x^3}{5}+C\sqrt{x}$。

由 $y(1)=\frac{6}{5}$，有 $\frac{1}{5}+C=\frac{6}{5}$，故 $C=1$，特解为 $y=\frac{x^3}{5}+\sqrt{x}$。