1999 · 数学二 · 第 4 题 · 填空题

区间长度为 $\frac{3 - 1}{2}$ 。令 $x = sin t$ ，则端点分别对应 $t = \frac{π}{6}$ 与 $t = \frac{π}{3}$ ，并且

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} sin^{2} t d t .

计算得

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} sin^{2} t d t = [\frac{t}{2} - \frac{sin 2 t}{4}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = \frac{π}{12} .

因此平均值为

\frac{\frac{π}{12}}{\frac{( 3 - 1 )}{2}} = \frac{π ( 3 + 1 )}{12} .

答案