令 $g(x)=x+p+q\cos x$。函数 $g$ 在实数轴上连续，且

所以 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，方程至多有一个实根。

由于 $q\cos x$ 有界，

由介值定理，$g$ 至少有一个零点。结合严格单调性，方程恰有一个实根。