（1）比较被积函数。令 $\phi (t)=t-\ln (1+t)$，则 $\phi (0)=0$，且 $t>0$ 时 ${\phi }^{\prime }(t)=\frac{t}{(1+t)}>0$，所以 $0<\ln (1+t)<t$。在 $0<t<1$ 上，$|\ln t|=-\ln t>0$；将两个正数同时取正整数 $n$ 次幂，再乘以 $|\ln t|$，得

（2）确认积分存在并严格比较。由洛必达法则，

由夹逼，另一个被积函数在 $t\to 0^{+}$ 时也趋于零。因此两者在 $t=0$ 处补值为零后均连续，积分存在。两被积函数之差在 $(0,1)$ 内连续且严格为正，由积分保序性及严格正性，得到

（1）利用上一问作夹逼。记 $v_n={\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t$，由上一问有 $0<u_n<v_n$。

（2）计算上界。因 $|\ln t|=-\ln t$，在 $[\epsilon ,1]$ 上分部积分，再令 $\epsilon \to 0^{+}$，得

这里的边界项为零，因为 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{n+1}\ln t=0$，可按上一问的洛必达计算将 $n$ 换成 $n+1$ 得到。

（3）由 $0<u_n<\frac{1}{(n+1{)}^2}$ 及右端趋于零，应用夹逼准则，得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。

在 $0<t<1$ 上，$0<\ln (1+t)<\ln 2<1$，故

利用 $|\ln t|=-\ln t$ 及 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }t\ln t=0$，有

于是 $0<u_n<(\ln 2{)}^n$。因 $0<\ln 2<1$，该几何数列趋于零，由夹逼准则得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。