1996 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

求函数

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

在

x = 0

点处带拉格朗日型余项的

n

阶泰勒展开式。

答案

$\frac{1 - x}{1 + x} = 1 + 2 k = 1 \sum n (- 1)^{k} x^{k} + \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n + 1}}{( 1 + ξ ) ^{n + 2}}$ ，其中 $ξ$ 位于 0 与 x 之间，且所取区间不经过 $x = - 1$ 。

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写成 $f (x) = - 1 + \frac{2}{1 + x}$ 。当 $k \geq 1$ 时， $f^{(k)} (x) = \frac{2 ( - 1 ) ^{k} k !}{( 1 + x ) ^{k + 1}}$ ，且 $f (0) = 1$ 。

因此 $n$ 阶泰勒多项式为 $1 + 2 k = 1 \sum n (- 1)^{k} x^{k}$ 。

拉格朗日余项为 $R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} x^{n + 1} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n + 1}}{( 1 + ξ ) ^{n + 2}}$ ，其中 $ξ$ 位于 $0$ 与 $x$ 之间；该线段须避开奇点 $x = - 1$ 。