1995 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{x ^{2}} (1 - cos x), 1, \frac{1}{x} \int_{0}^{x} cos t^{2} d t, x < 0 x = 0 x > 0

。

(1) 讨论 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性；
(2) 讨论 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的可导性。

答案

第 1 问

在 $x = 0$ 处连续

第 2 问

$f^{'} (0) = 0$

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第 1 问

当 $x \to 0^{-}$ 时，利用 $1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}$ ，有

x \to 0^{-} lim \frac{2 ( 1 - cos x )}{x ^{2}} = 1.

当 $x \to 0^{+}$ 时，由积分中值定理，存在 $ξ_{x} \in (0, x)$ 使

\frac{1}{x} \int_{0}^{x} cos t^{2} d t = cos ξ_{x}^{2} \to 1.

两侧极限均等于 $f (0) = 1$ ，故 $f$ 在 $0$ 处连续。

第 2 问

由 $1 - cos x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})$ ，当 $x \to 0^{-}$ 时

\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = \frac{- \frac{x ^{2}}{12} + o ( x ^{2} )}{x} \to 0.

由 $cos t^{2} = 1 - \frac{t ^{4}}{2} + o (t^{4})$ ，积分后得 $f (x) = 1 - \frac{x ^{4}}{10} + o (x^{4})$ 。因此当 $x \to 0^{+}$ 时 $\frac{[ f ( x ) - f ( 0 )]}{x} \to 0$ 。左右导数相等，故 $f^{'} (0) = 0$ 。