对任意 $\xi \in (a,b)$，函数在 $\xi$ 处可导，因而在该点连续，所以 $\underset{x\to \xi }{\lim }[f(x)-f(\xi )]=0$。

其余选项分别需要在闭区间上连续才能使用介值定理、罗尔定理或拉格朗日中值定理；题面只给出开区间可导，不能保证端点连续。因此正确选项为 B。