（1）若 $a=0$，分子恒为零，极限为零，与题设的 $6$ 矛盾，故 $a\ne 0$。对任意固定的非零实数 $a$，零点附近有 $1+a{x}^2>0$，可令 $u=\sin x\ln (1+a{x}^2)$，则 $(1+a{x}^2{)}^{\sin x}-1=e^u-1$。
（2）由 $\sin x\sim x$、$\ln (1+a{x}^2)\sim a{x}^2$，得 $u\sim a{x}^3\to 0$，所以

（3）题设极限等于 $6$，故 $a=6$。代入上述推导也确实得到极限 $6$。这里指数 $\sin x\to 0$，并不是指数趋于无穷的情形；仍可借指数与对数的恒等变换处理。

也可直接控制余项。对固定 $a$，有 $\ln (1+a{x}^2)=a{x}^2+O(x^4)$、$\sin x=x+O(x^3)$，于是 $u=\sin x\ln (1+a{x}^2)=a{x}^3+O(x^5)$。再由 $e^u-1=u+O(u^2)$，得 $(1+a{x}^2{)}^{\sin x}-1=a{x}^3+O(x^5)$。除以 $x^3$，极限为 $a$，所以 $a=6$。该带余项的形式也覆盖 $a=0$，不把零函数写成与零等价。