2010 · 数学三 · 第 1 题 · 选择题

若

x \to 0 lim [\frac{1}{x} - (\frac{1}{x} - a) e^{x}] = 1

，则

a

等于（　　）。

A
$0$
B
$1$
C
$2$
正确答案
D
$3$

答案

查看解析展开

（1）先通分，原括号等于 $\frac{[ 1 - ( 1 - a x ) e ^{x} ]}{x}$ 。当 $x \to 0$ 时分子分母都趋于零，不能将原来两项分别取极限后相减。
（2）分子求导为 $- [- a e^{x} + (1 - a x) e^{x}] = - e^{x} (1 - a - a x)$ ，分母导数为 $1$ 。两者在去心邻域可导，导数之比趋于 $a - 1$ ，故由洛必达法则，

x \to 0 lim \frac{1 - ( 1 - a x ) e ^{x}}{x} = x \to 0 lim [- e^{x} (1 - a - a x)] = a - 1.

（3）由题设 $a - 1 = 1$ ，得 $a = 2$ ，选 C。其余选项 $a = 0, 1, 3$ 分别给极限 $- 1, 0, 2$ ，均不满足要求。

由 $e^{x} = 1 + x + o (x)$ ，有 $(1 - a x) e^{x} = 1 + (1 - a) x + o (x)$ ，其中二阶项 $- a x^{2}$ 并入余项。因此

\frac{1 - ( 1 - a x ) e ^{x}}{x} = \frac{( a - 1 ) x + o ( x )}{x} \to a - 1.

令其等于 $1$ ，得到 $a = 2$ ，选 C。分母是一阶量，展开中不能漏掉 $e^{x}$ 的一次项。