1988 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上有连续导数，且

m \leq f (x) \leq M

。

(1) 求 $a \to + 0 lim \frac{1}{4 a ^{2}} \int_{- a}^{a} [f (t + a) - f (t - a)] d t$ ；
(2) 证明 $∣ \frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} f (t) d t - f (x) ∣ \leq M - m$ （ $a > 0$ ）。

答案

$f^{'} (0)$

证明见解析

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分别换元可得

\int_{- a}^{a} [f (t + a) - f (t - a)] d t = \int_{0}^{2 a} f (u) d u - \int_{- 2 a}^{0} f (u) d u = \int_{0}^{2 a} [f (u) - f (- u)] d u .

由微积分基本定理， $f (u) - f (- u) = \int_{- u}^{u} f^{'} (s) d s$ 。因 $f^{'}$ 在 $0$ 连续，

f (u) - f (- u) = 2 u f^{'} (0) + o (u) (u \to 0 +) .

于是分子为

\int_{0}^{2 a} (2 u f^{'} (0) + o (u)) d u = 4 a^{2} f^{'} (0) + o (a^{2}),

除以 $4 a^{2}$ 后取极限，结果为 $f^{'} (0)$ 。

由 $m \leq f (t) \leq M$ 且 $a > 0$ ，积分并除以 $2 a$ 得

m \leq \frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} f (t) d t \leq M .

同时 $m \leq f (x) \leq M$ 。区间 $[m, M]$ 内任意两个数之差的绝对值不超过 $M - m$ ，故

\frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} f (t) d t - f (x) \leq M - m .