由 $f^{\prime \prime }>0$，曲线严格位于各区间端点连成的弦下方。分别考察 $[-1,0]$ 与 $[0,1]$，两条弦的方程为 $L_1(x)=-1-2x$、$L_2(x)=-1+2x$。
说明严格性：以第一段为例，令 $\phi =f-L_1$，则 $\phi (-1)=\phi (0)=0$，且 ${\phi }^{\prime \prime }>0$，故 ${\phi }^{\prime }$ 严格递增。若某个 $c\in (-1,0)$ 满足 $\phi (c)\ge 0$，分别在 $[-1,c]$、$[c,0]$ 用中值定理，得到 ${\xi }_1<c<{\xi }_2$，且

这与 ${\phi }^{\prime }({\xi }_1)<{\phi }^{\prime }({\xi }_2)$ 矛盾。因此内部有 $f<L_1$；第二段同理有 $f<L_2$。
两段分别积分，因函数连续且内部严格小于，得

相加即得 ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x<0$，故 B 正确、A 错误。
C、D 均不能由条件推出。取 $f(x)=2x^2-1$，它满足全部条件且为偶函数，两个半区间积分均为 ${\int }_0^1(2x^2-1)\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}$，相等而非严格不等。也可从对称性理解：$\tilde{f}(x)=f(-x)$ 同样满足题设，却交换了两个半区间的积分，故条件不可能指定其中固定的一边较大。综上选 B。