1989 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设

A = - 1 22 2 - 1 - 2 2 - 2 - 1

。

答案

$1$ （二重特征值）和 $- 5$

$2$ （二重特征值）和 $\frac{4}{5}$

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计算得 $det (λ E - A) = (λ - 1)^{2} (λ + 5)$ 。

因此 $A$ 的特征值为 $1, 1, - 5$ ，即 $1$ 为二重特征值， $- 5$ 为单特征值。

矩阵 $A$ 的特征值均非零，故可逆。若 $A ξ = λ ξ$ ，则 $(E + A^{- 1}) ξ = (1 + λ^{- 1}) ξ$ 。

当 $λ = 1$ 时得到特征值 $2$ ，保持二重；当 $λ = - 5$ 时得到 $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ 。