（1）固定求导点 $x$，记 $F(x)=u(x)v(x)$。分子中两个因子同时变化，加入并减去 $u(x)v(x+h)$，对 $h\ne 0$ 得

（2）$u,v$ 在 $x$ 处可导，所以两个差商分别趋于 $u^{\prime }(x),v^{\prime }(x)$；又可导必连续，故 $v(x+h)\to v(x)$。各因子的有限极限均存在，由极限运算法则，上式趋于 $u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$。
这同时证明 $F$ 的差商极限存在，故 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$。此证明只用导数定义与极限运算法则，没有预先引用待证的乘积法则。

求导公式为

共有 $n$ 项，每项只把一个因子换成其导数，其余因子保持原样；空积约定为 $1$。
用数学归纳法说明：$n=1$ 显然成立，$n=2$ 即前问。假设对 $n=k$ 成立，记 $P=u_1\cdots u_k$，归纳假设保证 $P$ 可导。前问给出 $(P{u}_{k+1}{)}^{\prime }=P^{\prime }{u}_{k+1}+P{u}_{k+1}^{\prime }$，将 $P^{\prime }$ 的 $k$ 项代入，正好得到 $k+1$ 项所需公式。因此对所有正整数 $n$ 成立，不要求各因子非零。