直线左下方对应 $x+y\le t$。在单位正方形内，$S(t)=\frac{t^2}{2}$（$0\le t\le 1$），$S(t)=1-\frac{(2-t{)}^2}{2}$（$1<t\le 2$），且 $S(t)=1$（$t>2$）。

当 $0\le x\le 1$ 时，${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t=\frac{x^3}{6}$。

当 $1<x\le 2$ 时，从 $t=1$ 处分段积分，得到 $x-1+\frac{(2-x{)}^3}{6}$。当 $x>2$ 时，在 $t=2$ 后面积恒为 $1$，结果为 $x-1$。