当 $Y=0$ 时 $Z=XY=0$，其概率为 $\frac{1}{2}$；当 $Y=1$ 时 $Z=X$，为连续正态变量。由于 $P(X=0)=0$，$Z$ 在 $0$ 点的跳跃量为 $P(Y=0)=\frac{1}{2}$。

除 $z=0$ 外，混合分布的连续部分没有间断，因此 $F_Z$ 只有一个间断点，答案为选项 B。