1989 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设随机变量

X

与

Y

独立，且

X

服从均值为

1

、标准差（均方差）为

2

的正态分布，而

Y

服从标准正态分布。试求随机变量

Z = 2 X - Y + 3

的概率密度函数。

答案

$f_{Z} (z) = \frac{1}{3 2 π} exp (- \frac{( z - 5 ) ^{2}}{18}), - \infty < z < + \infty$

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由题意， $X \sim N (1, 2)$ ，其中第二个参数为方差； $Y \sim N (0, 1)$ ，且二者独立。因此线性组合 $Z = 2 X - Y + 3$ 仍服从正态分布。

其均值与方差分别为

E (Z) = 2 E (X) - E (Y) + 3 = 5,

Var (Z) = 4 Var (X) + Var (Y) = 4 \times 2 + 1 = 9.

故 $Z \sim N (5, 9)$ ，概率密度为

f_{Z} (z) = \frac{1}{3 2 π} exp (- \frac{( z - 5 ) ^{2}}{18}), - \infty < z < + \infty.