令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。三向量线性无关，故 $|P|\ne 0$。将题设三个等式按列合并，得到

这里 $C$ 的第 $j$ 列是 $A{\alpha }_j$ 关于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的组合系数。两边取行列式，$|A||P|=|P||C|$，约去非零的 $|P|$，得

也可对 $C$ 作 $r_1\leftarrow r_1-r_2$，再作 $r_1\leftarrow r_1+r_3$，第一行变为 $(0,0,2)$，按此行展开同样得 $2$。